Cómo calcular fracciones generatrices

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Los números racionales son aquellos que pueden ser representados mediante la división de dos números enteros. Por ejemplo: 8 (= \frac{8}{1}) ó 0,3 (=\frac{3}{10}). Estos números pueden tener una cantidad limitada de cifras decimales (por ejemplo 0,25) o ilimitada, en cuyo caso debe haber una o más cifras que se repiten constantemente (como 0,33333333333… ó 0,0272727272727…).

No son números racionales aquellos que tienen un número ilimitado de cifras decimales que no se repiten. Por ejemplo, el número \pi (=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…) o la raíz cuadrada de 2 (\sqrt{2} = 1,414213562…).

Ya que los números racionales se pueden deducir a partir de una fracción, hoy trataré de aclarar cómo se llega a ella.

Números enteros

La fracción de la que provienen los números enteros es tan sencilla como poner en el numerador el número y en el denominador 1. Por ejemplo:

20 = \frac{20}{1}

Números decimales exactos

Un número es decimal exacto cuando tiene un número no infinito de cifras decimales. Por ejemplo: 0,25 ó 0,03118. Para hallar la fracción generatriz de un número decimal exacto, se pone en el numerador el número sin coma, y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

Por ejemplo: 0,03118

  • Número sin la coma: 3118 (al numerador)
  • Número de cifras decimales: 5 ->Unidad seguida de cinco ceros (10000) (al denominador)

0,03118 = \frac{3118}{10000}

Importante: si la fracción se puede simplificar, hay que hacerlo, dividiendo el numerador y el denominador entre el máximo común divisor (MCD).

  • MCD (3118, 10000) = 2

\frac{3118}{10000} = \frac{3118:2}{10000:2} = \frac{1559}{5000}

 

Números periódicos puros

Son números decimales de longitud infinita que se repiten, solos o en grupo, desde la coma. Por ejemplo: 0,3333333333… ó 0,2727272727…

La cifra o cifras que se repiten se denomina “periodo” y se representa poniendo un “capuchón” encima:

0,33333333….. = 0,\widehat{3}

5,27272727… = 5,\widehat{27}

Para descubrir la fracción de la que proviene el número periódico puro (por ejemplo, 5,\widehat{27}), hay que tener en cuenta:

  • La parte entera del número -> lo que hay antes de la coma (en nuestro ejemplo, 5)
  • Cuál es el periodo (en nuestro caso, 27)
  • Cuántas cifras tiene el periodo (en nuestro caso, dos)
  • Qué número obtenemos al quitar la coma y el “capuchón” (en nuestro caso, 527)

Para hallar la fracción generatriz, hay que:

  • Restar al número que obtenemos al quitar la coma y el “capuchón” (en nuestro caso, 527) la parte entera del número periódico (en nuestro caso, 5)
  • El resultado de la operación anterior lo ponemos en el numerador
  • Escribir un número con tantos nueves como cifras tenga el periodo. En nuestro caso, el periodo tiene dos cifras, por lo que hay que escribir dos nueves: 99
  • Este número lo ponemos en el denominador
  • Si se puede, simplificamos la fracción resultante

5,\widehat{27} = \frac{527-5}{99} = \frac{522}{99} = \frac{58}{11}

 

El último paso (simplificar) se hace teniendo en cuenta que el MCD de 522 y 99 es 9. Se puede comprobar el resultado: si dividimos 58 entre 11, obtenemos 5,2727272727272…

Números periódicos mixtos

Son números decimales de longitud infinita que se repiten, solos o en grupo, pero no desde la coma. Por ejemplo: 0,5183333333333… ó 5,32727272727…

Para descubrir la fracción de la que proviene el número periódico puro (por ejemplo, 5,3\widehat{27}), hay que tener en cuenta:

  • La parte no periódica del número -> en nuestro ejemplo, 53
  • Cuál es la parte decimal (en nuestro caso, 3\widehat{27}) y cuántas cifras tiene (tres: el tres, el dos y el siete)
  • Cuál es el periodo (en nuestro caso, 27) y cuántas cifras tiene (dos)
  • Qué cifras de la parte decimal no pertenecen al periodo (en nuestro caso, el 3)
  • Qué número obtenemos al quitar la coma y el “capuchón” (en nuestro caso, 5327)

Para hallar la fracción generatriz, hay que:

  • Restar al número que obtenemos al quitar la coma y el “capuchón” (en nuestro caso, 5327), todo lo que está fuera del periodo (en nuestro caso, 53)
  • El resultado de la operación anterior lo ponemos en el numerador
  • Escribir un número con tantos nueves como cifras tenga el periodo (en nuestro caso, el periodo tiene dos cifras, por lo que hay que escribir dos nueves: 99) y tantos ceros como cifras decimales estén fuera del periodo (en nuestro caso, sólo hay una cifra decimal fuera del periodo, el 3, por lo que hay que añadir un cero) -> 990
  • El número anterior lo ponemos en el denominador
  • Si se puede, simplificamos la fracción resultante

5,3\widehat{27} = \frac{5327-53}{990} = \frac{5274}{990} = \frac{293}{55}

 

El último paso (simplificar) se hace teniendo en cuenta que el MCD de 5274 y 990 es 18. Se puede comprobar el resultado: si dividimos 293 entre 55, obtenemos 5,32727272727272…


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