Aproximaciones

En ocasiones nos enfrentamos, al realizar ejercicios de Química, con expresiones matemáticas que parecen imposibles de resolver, y que en realidad no son tan difíciles si aplicamos algún truco matemático.

Un ejemplo de esto lo podemos encontrar en el último examen de Química de EvAU de la Comunidad de Madrid, en un ejercicio que a priori era muy sencillo y que sin embargo se le «atragantó» a muchos estudiantes.

¡Una ecuación de tercer grado!

 El ejercicio en cuestión parecía inofensivo:

enunciado ejercicio

Al resolver el apartado a, el valor de Kc obtenido es 1,97·10–7, que por sencillez en cálculos posteriores conviene redondear a 2·10–7. Este valor es muy pequeño.

En el apartado b, al plantear la estequiometría del equilibrio con concentraciones, y siendo X la concentración que se forma de oxígeno, obtenemos:

  2 H2O (g) 2 H2 (g) + O2 (g)
inicial 0,01   0   0
reacciona 2X   2X   X
equilibrio 0,01 – 2X   2X   X

K_c = \frac{[H_2]^2\cdot [O_2]}{[H_2O]^2} = \frac{(2X)^2 \cdot X}{(0.01-2X)^2} = \frac{4X^3}{(0.01-2X)^2} = 2\cdot10^{-7}

En efecto, sale una ecuación de tercer grado. Llegados a este punto, tenemos dos opciones: intentar resolver la ecuación tal cual o aplicar una aproximación.

Intentando resolver la ecuación tal cual

Si quitamos paréntesis y desarrollamos la igualdad, llegaremos a la siguiente ecuación:

4X3 – 8·10–7 X2 + 8·10–9 X – 2·10–11 = 0

Estando en casa podemos recurrir a webs como calcme.com o usar alguna calculadora que resuelva ecuaciones, como la Casio fx-991 SPX II Iberia, pero en un examen como el de EvAU no se puede acceder a Internet ni usar ese tipo de calculadoras. Y aplicar la regla de Ruffini con estos coeficientes en notación científica no es viable para un examen con el tiempo limitado.

Aproximación

Volvamos a la ecuación que debíamos resolver:

\frac{4X^3}{(0.01-2X)^2} = 2\cdot10^{-7}

Pensando en términos químicos, podemos acotar el resultado de X teniendo en cuenta que:

  1. La concentración final de agua (0,01 – 2X) debe ser positiva, por lo que X valdrá, como mucho, 5·10–3
  2. Kc tiene un valor MUY pequeño, por lo que el equilibrio apenas estará desplazado. Es decir, X debe tener un valor realmente pequeño.

Es decir, X será muy pequeño, tanto como para poder considerar que 0,01 – 2X es aproximadamente igual a 0,01. Haciendo esta aproximación tenemos que:

\frac{4X^3}{(0.01-2X)^2} \approx \frac{4X^3}{0.01^2} = 2\cdot10^{-7}

La ecuación que nos queda sigue siendo de tercer grado, pero es incompleta y podemos despejar X fácilmente para obtener su valor:

X = 1,71·10–4 M

¿Cómo saber si este resultado es bueno?

El valor de X obtenido es fruto de una aproximación, por lo que podemos preguntarnos si realmente la aproximación estaba bien hecha. En el examen de EvAU no vamos a poder comprobarlo porque no podemos utilizar una calculadora que resuelva ecuaciones, pero en casa sí podríamos hacerlo. Si resolvemos la ecuación de tercer grado completa obtenemos:

X = 1,67·10–4 M

El valor obtenido con la aproximación es muy parecido al valor verdadero, por lo que el ahorro en cálculos bien merecía el resultado.

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