No sé resolver problemas de fuerzas gravitatorias

A la hora de hablar del campo gravitatorio (o eléctrico), hay que tener muy en cuenta las direcciones y sentidos de los vectores, así como el signo obtenido en los diferentes cálculos.

Imaginemos que tenemos dos masas en puntos A y B y queremos hallar la fuerza con la que A atrae a B. Por poner números, digamos que la masa de A es 3 · 10⁶ Kg y la masa de B es 5 · 10⁶ Kg, y que en el siguiente sistema de coordenadas las longitudes están expresadas en metros:

Según Newton, dicha fuerza (que siempre es de atracción) tiene la misma dirección que el vector que una A y B, pero sentido contrario. Eso, en cuanto a la dirección. En cuanto a la magnitud de la fuerza, Newton nos dice que ésta es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Matemáticamente, lo anterior se resume como sigue:

¿Qué es cada cosa en esa fórmula?

• F: Fuerza de atracción que actúa sobre B, en forma vectorial
• G: constante de gravitación = 6,67 · 10^-11 N·m²·Kg^-2
• Ma: Masa de A (en Kg)
• Mb: Masa de B (en Kg)
• r: distancia que separa A de B (en metros)
• Ur: vector unitario que va desde A hasta B. Si la fuerza que quisiésemos hallar fuera la que actúa sobre A, Ur sería el vector unitario que va desde B hasta A

¿Cómo calculo el vector que separa A y B?

Nada más fácil: teniendo las coordenadas de A y de B, resto a B las coordenadas de A. Según nuestro ejemplo, sería:

A (1,1)

B (5, 4)

B-A = (5, 4) – (1,1) = (4, 3)

¿Y qué distancia hay entre A y B?

Para ello, hay que hallar el módulo del vector AB. Teniendo en cuenta que dicho vector es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

r² = x² + y²
r² = 3² + 4² = 9 + 16
r² = 25
r = 5 metros

¿Cómo hallo el vector unitario?

Un vector unitario se consigue dividiendo un vector cualquiera entre su módulo, es decir, su longitud. Nuestro vector (4, 3) tiene módulo 5 (4² + 3² = 16 +9 = 25, y la raíz de 25 es 5). Por lo tanto, el vector que teniendo la lisma dirección de (4, 3) tiene módulo 1 es (4,3)/5 = (4/5, 3/5) = (0’8, 0’6)

¿Puedes resumirme los datos que tenemos, antes de sustituir en la fórmula?

• G = 6,67 · 10^-11 N·m²·Kg^-2
• Ma = 3 · 10⁶ Kg
• Mb = 5 · 10⁶ Kg
• r = 5 m
• Ur = (0’8, 0’6)

Hagamos el cálculo:

F = -40,02 · (0’8, 0’6) = (-32’016, -24’012)

Al ser (0’8, 0’6) un vector unitario, el módulo de la fuerza es lo que le acompaña antes: 40,02 N. Además, las dos coordenadas de F son negativas, ya que así es un vector que (según la gráfica inicial del problema) saliendo de B vaya hacia A.

PROBLEMA RESUELTO.

Además, puedes resolver gráficamente cualquier ejercicio con la ayuda de los applets que he diseñado:

Cálculo de fuerzas gravitatorias

Cálculo de fuerzas electrostáticas