Lanzamientos verticales (hoja de cálculo)

Un problema muy común al que se enfrentan los alumnos de 4º ESO y 1º BACHILLERATO es aquél en el que se deja caer un cuerpo desde una determinada altura, o se lanza hacia arriba (o hacia abajo) con una cierta velocidad inicial. Este tipo de movimiento es conocido como «lanzamiento vertical», y este artículo pretende arrojar algo de luz acerca de cómo se resuelven estos ejercicios.

Interpretar el enunciado

Para realizar correctamente los cálculos, es necesario partir de las siguientes premisas:

  1. Pondremos como origen del sistema de referencia el suelo, cuya altura será por lo tanto igual a cero.
  2. Contaremos las posiciones positivas hacia arriba (alturas), y negativas hacia abajo (profundidades)
  3. Las velocidades serán positivas cuando el cuerpo se mueva hacia arriba (subiendo), y negativas cuando se muevan hacia abajo (bajando)
  4. Según este criterio de signos, la aceleración de la gravedad siempre es negativa. En la superficie de la Tierra, el valor a tomar será de -9,81 m/s2, aunque cambiará si el ejercicio se plantea sobre la superficie de otro cuerpo celeste (la Luna, Marte, etc.)

Además, es preciso leer muy bien el enunciado del problema, leyendo entre líneas y extrayendo toda la información, incluso cuando parece que faltan datos. Si el enunciado dice: «Se deja caer un cuerpo desde una altura de 60 metros», podemos extraer dos datos, y dar por sentado el tercero:

  • «Se deja caer» -> significa que la velocidad inicial es cero: el cuerpo está parado y va a empezar a caer por la acción de la gravedad, sin que nosotros actuemos dando ninguna velocidad inicial. Vo = 0 m/s
  • «desde una altura de 60 metros» -> nos están dando la posición inicial Yo = 60 m
  • La aceleración de la gravedad, mientras no se diga lo contrario, corresponde a la de la Tierra, cuyo valor es de -9,8 m/s2

Plantear las ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), escritas de forma genérica, son:

POSICIÓN: Y = Yo + Vo·t + 1/2·a·t2

VELOCIDAD: V = Vo + a·t

Como conocemos los valores de Yo, Vo y a, sustituimos:

POSICIÓN: Y = 60 + 0·t + 1/2·(-9,8)·t2 = 60 – 4,9·t2

VELOCIDAD: V = Vo + a·t = 0 – 9,8·t = -9,8·t

Utilizar las ecuaciones de movimiento

Teniendo delante las ecuaciones, podemos resolver todo tipo de cuestiones:

  • ¿Cuánto tarda en caer el cuerpo al suelo? Hay que igualar Y=0 y resolver la ecuación de segundo grado: 60 – 4,9·t2 = 0
  • ¿A qué altura máxima llega? Para calcularlo, hay que tener en cuenta que cuando un cuerpo sube en contra de la gravedad, lo hace cada vez más despacio, hasta que su velocidad se hace igual a 0. Por lo tanto, hay que calcular cuánto tiempo pasa hasta que V = 0 (V = -9,8t = 0), y despejar el tiempo. Luego, sustituimos ese tiempo en la ecuación de posición (Y). En nuestro caso, la altura máxima es la inicial, 60 m, ya que no lo lanzamos hacia arriba, de modo que lo único que puede hacer el cuerpo es bajar.
  • ¿Dónde está el cuerpo y qué velocidad tiene 2 segundos después de empezar a moverse? Sustituimos t = 2s en la ecuación de posición (Y) y en la de velocidad (V)

Cómo comprobar que los resultados son los correctos

Para ello, he preparado una hoja de cálculo en la que introducimos los valores de Yo, Vo y la aceleración de la gravedad, y se nos proporciona la siguiente información:

  • Una tabla de valores tiempo-posición-velocidad, contando desde el principio del movimiento (t=0) hasta que el cuerpo cae al suelo
  • La gráfica posición-tiempo
  • La gráfica velocidad-tiempo
  • La altura máxima alcanzada y el tiempo que tarda en llegar a dicha altura

Además, en las celdas inferiores podemos dar valores al tiempo, a la altura o a la velocidad y la hoja nos calcula el resto de variables.

Como siempre, la hoja de cálculo está en formato LibreOffice. Puede que salga una advertencia acerca de activar las macros de la hoja. Puedes hacerlo, sólo hay una macro que muestra cierta información sobre el archivo y que no afecta para nada a la seguridad de tu equipo.

Pincha aquí para descargar la hoja de cálculo

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