Problemas de equilibrio con Kc (parte 2)

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equilibrio

En este caso, vamos a ver qué ocurre cuando un sistema que ya está en equilibrio es modificado porque (por ejemplo) modificamos la concentración de uno de los reactivos.

Enunciado del ejercicio

Cuando se ponen 0,7 moles de N2O4 en un reactor de 10 L a 359 K se establece el equilibrio N_{2}O_{4}(g) \rightleftharpoons 2 NO_{2}(g) y la presión es de 3,3 atm. Calcula:

  1. La concentración molar de todas las especies en el equilibrio.
  2. El valor de Kc.
  3. Si el sistema se comprime hasta reducir el volumen a 8 L ¿cuál sería la presión total en el equilibrio?

DATOS: R = 0,082 atm·L·mol−1·K−1

Cómo afrontarlo

Hallar concentraciones iniciales

Tenemos 10 litros de una disolución gaseosa de N2O4 (0,7 moles), por lo que la concentración inicial será:

[N_{2}O_{4}]_o = \frac{0,7 moles}{10 litros} = 0,07M

Convertir la presión final en concentración

Más tarde veremos para qué es necesario este paso. Como estamos ante una mezcla totalmente gaseosa, podemos aprovechar la ecuación de los gases ideales: P \cdot V = n \cdot R \cdot T \Rightarrow \frac{P}{R \cdot T} = \frac{n}{V} \Rightarrow C = \frac{P}{R \cdot T}. Como la presión final es 3,3 atm y T = 359 K, tenemos que C = \frac{P}{R \cdot T} = \frac{3,3}{0,082 \cdot 359} = 0,1121 M.

Realizar los cálculos estequiométricos

En este caso, no hay productos, sólo reactivo, por lo que obligatoriamente la reacción se desplazará a la derecha, y se gastará parte del N2O4 para dar lugar a NO2. Por lo tanto, de N2O4 se gastará 0,07·α (siendo α el grado de disociación) y de NO2 se formará el doble de lo que se gaste de reactivo (2·0,07·α = 0,14·α)

N2O4(g) \rightleftharpoons 2 NO2(g)
Inicial 0,07 0
Reacciona 0,07·α 0,14·α
Equilibrio 0,07·(1-α) 0,14·α

En el caso del N2O4, a la cantidad inicial le restamos lo que reacciona (ya que se gasta). Para el NO2, sumamos en lugar de restar, ya que esta sustancia no se gasta, sino que se produce.

Sumando las concentraciones finales, debemos obtener un valor igual a 0,1131M (lo que obtuvimos anteriormente), por lo que tendremos: 0,07 \cdot (1 - \alpha) + 0,14 \cdot \alpha = 0,1121. Resolviendo esta sencilla ecuación de primer grado, obtenemos α = 0,6014.

Resolvemos el apartado a)

Con este valor de α, ya podemos hallar las concentraciones en equilibrio:

[N_{2}O_{4}] = 0,07 \cdot (1 - \alpha) = 0,0279M [NO_{2}] = 0,14 \cdot \alpha = 0,0842M

Podemos comprobar que sumando ambas concentraciones obtenemos 0,1121 M

Resolvemos el apartado b)

Para hallar Kc, hay que tener en cuenta que para este equilibrio Kc = \frac{{NO_{2}}^2}{[N_{2}O_{4}]} = \frac{0,0842^2}{0,0279} = 0,2541

Resolvemos el apartado c)

Aquí vienen los problemas. Si reducimos el volumen, las concentraciones cambian y no tienen por qué seguir en equilibrio. Para comprobarlo, recalculamos concentraciones:

[N_{2}O_{4}] = \frac{0,0279 mol \cdot L^{-1} \cdot 10 L}{8 L} = 0,034875 M [NO_{2}] = \frac{0,0842 mol \cdot L^{-1} \cdot 10 L}{8 L} = 0,10525 M

Si hallamos Q (cociente de reacción) con estos valores, tendremos: Q = \frac{{NO_{2}}^2_o}{[N_{2}O_{4}]_0} = \frac{0,10525^2}{0,034875} = 0,3176 > Kc Como Q > Kc, el equilibrio se desplaza hacia la izquierda, y se consumirá parte del NO2 anteriormente obtenido, y se formará algo de N2O4. Aplicando estequiometría de forma parecida al caso anterior, y teniendo en cuenta que el grado de disociación hay que aplicarlo ahora a NO2 obtendremos:

N2O4(g) \rightleftharpoons 2 NO2(g)
Inicial 0,034875 0,10525
Reacciona 0,052625·α 0,10525·α
Equilibrio 0,034875+0,052625·α 0,10525·(1-α)

Con estas concentraciones, y sabiendo que Kc = 0,2541, tenemos: Kc = \frac{[NO_{2}]^2}{[N_{2}O_{4}]} = \frac{0,10525^2 \cdot (1-\alpha)^2}{0,034875+0,052625 \cdot \alpha } = 0,2541. Resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos dos valores de α: α = 0,0636α = 3,1435.

Elegiremos α = 0,0636, ya que α sólo puede tomar valores entre 0 y 1, y no puede valer 3,1435.

Las nuevas concentraciones en equilibrio serán:

[N2O4] = 0,034875+0,052625·α = 0,0382 M

[NO2] = 0,10525·(1-α) = 0,0986 M

Conclusión

Como puede comprobarse, al disminuir el volumen hemos roto el equilibrio, y  las concentraciones han variado para restablecer dicho equilibrio. Lo que ha ocurrido es que, disminuyendo el volumen aumenta la presión, y la reacción avanza en el sentido en el que hay menos moles gaseosos (es decir, hacia la izquierda).

Tras la modificación de volumen, y antes de que se restablezca el equilibrio, las concentraciones son 0,034875M y 0,10525M. La concentración total es 0,140125M, que convertido a presión es P = C \cdot R \cdot T = 0,140125 \cdot 0,082 \cdot 359 = 4,159 atm.

Tras restablecerse el equilibrio, las concentraciones son 0,0382M y 0,0986M. La concentración total es 0,1368M, que convertido a presión es P = C \cdot R \cdot T = 0,1368 \cdot 0,082 \cdot 359 = 4,027 atm.

Al modificar un equilibrio, éste evoluciona para restablecer dicha modificacióny volver a una nueva situación de equilibrio. Este efecto es conocido como ley de Le Chatelier.

Problemas de equilibrio con Kc (parte 1)

Cuando nos enfrentamos a un problema de equilibrios, hay que tener en cuenta varias cosas:

  • La constante Kc se calcula a partir de concentraciones en equilibrio.
  • Para saber hacia dónde se desplaza un sistema hasta alcanzar el equilibrio, hay que calcular el cociente de reacción (Q), que es muy parecido a Kc pero tomando concentraciones iniciales. Si Q>Kc, el equilibrio se desplaza hacia la izquierda, y si Q<Kc el equilibrio se desplaza hacia la derecha.

Enfrentémonos a un problema real, para saber qué pasos seguir:

El enunciado

El yoduro de hidrógeno se descompone a 400 ºC de acuerdo con la ecuación 2 HI (g) \rightleftharpoons H_2 (g)+I_2 (g), siendo el valor de Kc = 0,0156. Una muestra de 0,6 moles de HI se introduce en un matraz de 1 L y parte del HI se descompone hasta que el sistema alcanza el equilibrio.

  1. ¿Cuál es la concentración de cada especie en el equilibrio?
  2. Calcule Kp
  3. Calcule la presión total en el equilibrio

Datos: R=0,082 \frac{atm \cdot l}{mol \cdot K}

Cómo afrontarlo

Extraer los datos del enunciado

Según el enunciado, sólo se introduce HI en el matraz, por lo que [H2]o=[I2]o=0 M. En cuanto al HI, hay 0,6 moles en un matraz de un litro, por lo que [HI]_o=\frac{0,6 moles}{1 l}=0,6 M. Si hallamos Q, tendremos: Q = \frac{[H_2]_o \cdot [I_2]_o}{[HI]_o^2}=\frac{0 \cdot 0}{0,6^2} = 0 < K_c. Por lo tanto, el equilibrio se desplaza hacia la derecha, gastándose HI y produciéndose I2 y H2.

Escribir el equilibrio y entender qué ocurre en cada fase

El equilibrio es 2 HI (g) \rightleftharpoons H_2 (g)+I_2 (g). Las tres fases son:

  • Inicial (antes de llegar al equilibrio): las concentraciones son las iniciales. [HI] = 0,6 M, [H2]o=[I2]o=0 M.
  • Reacción: se va a gastar una cantidad de reactivo, HI, igual a su concentración inicial (0,6 M) por el grado de disociación (α). Como por cada dos moles de HI se produce uno (la mitad) de H2 y uno (la mitad) de I2, entonces H2 y I2 se producirán 0,3·α
  • Equilibrio: al reactivo (HI) hay que restarle lo que se ha gastado, por lo que [HI] = 0,6·(1-α); a los productos (I2 y H2) hay que sumarles lo que se ha producido, por lo que [H2]=[I2]=0,3·α

Teniendo las concentraciones en equilibrio (con α como incógnita), las relacionamos con Kc:

K_c = \frac{[H_2] \cdot [I_2]}{[HI]^2} = \frac{0,3 \cdot \alpha \cdot 0,3 \cdot \alpha}{(0,6 \cdot (1 - \alpha))^2} = \frac{(0,3 \cdot \alpha)^2}{(0,6 \cdot (1 - \alpha))^2} = 0,0156

Resolver esta ecuación

Llegados a este punto, depende de nuestra pericia matemática que le resolución sea muy facil o muy difícil. En este caso, a la izquierda de la igualdad tenemos un numerador elevado al cuadrado y un denominador elevado al cuadrado, por lo que en realidad tenemos el cuadrado de una fracción:

\frac{(0,3 \cdot \alpha)^2}{(0,6 \cdot (1 - \alpha))^2} = 0,0156 ( \frac{0,3 \cdot \alpha}{0,6 \cdot (1 - \alpha)} )^2=0,0156

Si tomamos raíces a ambos lados, en el lado izquierdo obtenemos una simple fracción:

\frac{0,3 \cdot \alpha}{0,6 \cdot (1 - \alpha)} =\sqrt{0,0156}

Además, en la fracción podemos simplificar dividiendo numerador y denominador entre 0,3:

\frac{\alpha}{2 \cdot (1 - \alpha)} =0,1249

Nos queda una ecuación de primer grado muy sencillita. Resolviéndola, tenemos que

\alpha=0,19987 \approx \alpha=0,2

Calculamos las concentraciones en equilibrio

Sustituimos el valor de α en las concentraciones en equilibrio:

  • [H2] = 0,3·α = 0,3·0,2 = 0,06 M
  • [I2] = 0,3·α = 0,3·0,2 = 0,06 M
  • [HI] = 0,6·(1 – α) = 0,6·(1-0,2) = 0,48 M

Convertimos Kc en Kp

Sabiendo que K_p = K_c \cdot {(R \cdot T)}^{\Delta n} , sólo hay que sustituir valores teniendo en cuenta que:

  • R = 0,082 atm·l/mol·K
  • La temperatura debe ir expresada en Kelvin, NO en grados Celsius. En nuestro caso, al ser una temperatura de 400 ºC, en Kelvin serán 673 K.
  • Δn es el incremento de moles gaseosos, es decir, moles gaseosos finales menos moles gaseosos iniciales. En nuestra reacción, al final hay dos moles gaseosos (uno de H2 y uno de I2) y al principio hay también dos moles gaseosos (de HI). Por lo tanto Δn = 2 – 2 = 0
K_p = 0,0156 \cdot (0,082 \cdot 673)^0 = 0,0156

En este caso, coinciden Kc y Kp porque no hay incremento de moles gaseosos.

Hallamos la presión total en equilibrio

Hay que convertir la concentración de cada gas en presión, teniendo en cuenta la ecuación de los gases ideales:

  • P = \frac{n \cdot R \cdot T}{V} = \frac{n}{V} \cdot R \cdot T = C \cdot R \cdot T
  • P_{HI} = [HI] \cdot R \cdot T = 0,48 \cdot 0,082 \cdot 673 = 26,49 atm
  • P_{H_2} = [H_2] \cdot R \cdot T = 0,06 \cdot 0,082 \cdot 673 = 3,31 atm
  • P_{I_2} = [I_2] \cdot R \cdot T = 0,06 \cdot 0,082 \cdot 673 = 3,31 atm
  • P_{TOTAL} = P_{HI} + P_{H_2} + P_{I_2} = 26,49 + 3,31 \cdot 2 = 31,11 atm

 

En la próxima entrega…

¿Cómo actuar cuando modificamos un sistema que inicialmente está en equilibrio?

 

El hospital de Los Pegamoides

elhospital

Hoy voy a comentar una gran canción, una angustiosa historia de convalecencia hospitalaria en la que el protagonista teme por su vida mientras ve cómo ésta se debilita.

El tema se llama El Hospital, y fue grabado por Alaska y Los Pegamoides, y más tarde regrabado por Alaska y Dinarama. En ambos casos es interpretada no por Alaska sino por Carlos Berlanga.

La letra de “El hospital”

Encerrado en este hospital
tomando pentotal
y sin poder hablar.
Entre tubos de goteo estoy
viendo televisión,
ya viene Sor Ivonne.

Dicen que tendré que resistir
pero yo quiero salir de aquí,
dicen que quizás me salvaré
me curaré, por fin.

A las doce ha vuelto Sor Ivonne
trayendo otra inyección
acabará conmigo.
Tengo miedo de la reacción
mi pulso va a peor,
voy perdiendo el sentido.

Dicen que tendré que resistir,
pero yo quiero salir de aquí,
Dicen que quizás me salvaré
me curaré, por fin.

Sinopsis

Un tipo es hospitalizado para curarse de una dolencia (que nosotros desconocemos). Pero en lugar de curarse, cada vez se encuentra más débil y el tipo empieza a temer por su vida.

Fundamento químico y primera teoría

Al protagonista de esta historia se le administra pentotal, nombre vulgar del tiopentato de sodio o pentotal sódico. ¿Es este  medicamento suficiente para provocar la muerte, como teme este paciente?

El pentotal sódico se utiliza en cirugía como inductor de la anestesia, aunque sus efectos no son muy duraderos (unos 15 minutos) y suele ser necesario aplicar otros anestésicos más potentes. Desde luego, sí es capaz de reducir el ritmo cardiaco y dejar inconsciente a una persona, por lo que el verso

y sin poder hablar.

es perfectamente válido, así como

Tengo miedo de la reacción
mi pulso va a peor,
voy perdiendo el sentido.

Lo inquietante de la canción es que si el pentotal le es administrado al protagonista en inyecciones ¿qué contienen los tubos de goteo?

Puede que la respuesta esté en uno de los usos que tiene el pentotal sódico: forma parte de las inyecciones letales, en la que el pentotal es únicamente el agente que duerme al reo, mientras que los demás componentes son los causantes de la muerte.

¿Sería eso lo que trataba de advertirnos Carlos Berlanga? ¿Es ése el significado de la letra? Sin duda, inquietante

Otros usos del pentotal sódico y segunda teoría

Debido a su efecto anestésico, cuando el pentotal es administrado en pequeñas dosis produce un efecto de confusión que dificulta mucho el poder inventar mentiras o desarrollar las que ya están inventadas, sobre todo si tienen un grado de complejidad elevado. Por ello, en muchas ocasiones (aunque no siempre, ojo) la administración de pentotal tiene como efecto que la persona acabe diciendo la verdad. De ahí que sea incorrectamente conocido como “suero de la verdad”.

Es decir, la canción podría tratar simplemente acerca de un tipo al que tienen encerrado para que confiese algo.

Teniendo en cuenta la época en que fue escrita la canción, la temática parece encajar con otras canciones de crímenes e intrigas que poco después Alaska y Dinarama escribieron, como Perlas Ensangrentadas y su segunda parte, Tormento. Ojalá Alaska y Nacho Canut (antiguos integrantes de Los Pegamoides y Dinarama, actualmente en Fangoria) aclararan más acerca de esta letra.

El tamaño de King Kong ¿es posible?

Cualquiera de las versiones cinematográficas de King Kong nos presenta a un espectacular gorila que es al menos 10 veces más grande que cualquier otro gorila adulto que podamos encontrar.

kingkong

Por si fuera poco, en la versión rodada por Peter Jackson en 2005, King Kong no solo es gigantesco, sino tremendamente ágil. ¿Sería posible?

Hablemos de proporciones

Cuando variamos el tamaño de los objetos, para que guarden correctamente las proporciones hay que variar todas las dimensiones del objeto. De lo contrario, puede ocurrir lo que al personaje Mike Tevé de Charlie y la fábrica de chocolate, que después de haber sido correctamente reducido exige recuperar su altura, y se le concede el deseo. Sólo que únicamente le “estiran” en vertical, quedando terriblemente deformado.

Imaginemos que queremos construir un dado similar al del parchís, pero cuyo arista sea el doble de grande. Para que siga conservando su forma cúbica, estamos obligados a doblar el tamaño de todas las aristas. Ahora bien ¿su tamaño es ahora el doble?

Si calculamos su volumen, éste es ahora 8 veces más grande, y el área 4 veces mayor. Ello se debe a que el volumen depende de una longitud elevada a la 3ª potencia, y el área de una longitud elevada a la 2ª potencia. En el caso de un cubo:

V_{cubo} = L^3

A_{cara} = L^2

Si por el contrario hacemos un cubo con el arista 10 veces más grande que el original, el volumen y el área se verán multiplicados por 1000 y 100, respectivamente.

Vamos con King Kong

Un gorila adulto puede medir 1,75 m de altura y tener 200 kg de masa. Además, la relación entre la masa del gorila y su tamaño es siempre la misma, al menos de forma aproximada (depende de factores como la musculatura o la cantidad de grasa del individuo). Un gorila 10 veces más alto verá multiplicada por 1000 su volumen, y por lo tanto su masa será 1000 veces mayor. Es decir, King Kong debería tener una masa aproximada de 200 toneladas.

Además, la planta de los pies (que es una superficie) aumenta no 1000 veces, sino “sólo” 100. Por lo tanto, sus nuevos pies, que tienen una superficie 100 veces más grande, debe soportar una masa 1000 veces mayor.

Para que King Kong pudiese sostenerse en pie, todo su organismo debería cambiar internamente, o se vendría abajo por su propio peso igual que un castillo de naipes. Su esqueleto tendría que ser mucho más fuerte, y los músculos, articulaciones y tendones mucho más resistentes para soportar una masa tan grande.

Sin embargo, surgiría un nuevo problema: al poseer un esqueleto más fuerte y una estructura muscular más potente, el gigantesco simio perdería agilidad y rapidez de movimientos, dejando de ser el gran luchador  que se aprecia en la película.

 

Superman y el lago congelado

superman_lago

Volvamos otra vez al superhéroe, concretamente a la película Superman III. En esta entrega, Superman se enfrenta al problema de apagar un incendio en una planta química. Los bomberos se ven incapaces, y el problema es que hay cierta sustancia química que si pasa de una temperatura puede explotar y causar un estrago aún mayor que el propio incendio.

Ni corto ni perezoso, Superman se dirige a un lago cercano y congela su superficie ¡¡¡ soplando !!!

Acto seguido, agarra por un extremo  la capa de hielo formada, se la lleva volando y la deja caer encima de planta química. El hielo, gracias al calor del incendio, se transforma en una fina lluvia que apaga el fuego y hace descender la temperatura del laboratorio en el que está el peligroso compuesto químico. Otro entuerto resuelto por el hombre de los calzoncillos por fuera.

Errores científicos

No son pocos, así que voy por partes:

  1. Para poder congelar toda la superficie de un lago en tan sólo 4 ó 5 segundos (compruébalo en el video), de los pulmones de Superman deberían poder salir varias toneladas de su propio aliento, a una temperatura muy inferior a 0 ºC, lo cual plantea varias dudas: ¿a qué ritmo tiene que producirse su metabolismo para, en pocos segundos, obtener varias toneladas de CO2 y agua? ¿cómo hace su cuerpo para enfriar toda esta masa antes de que salga del cuerpo?
  2. Superman dirige su frío chorro de aliento a la superficie del agua, pero el proceso no puede ser muy eficaz: una gran parte serviría para enfriar el aire que está justo por encima del lago.
  3. Una vez obtenida una gruesa capa de hielo, Superman la agarra por un extremo y ésta no se rompe. En el minuto 2:20 del vídeo podemos apreciar el tamaño de esta capa: a Superman ni se le ve, lo cual hace pensar que es realmente gigantesca. Comparando su extensión con su grosor, y teniendo en cuenta que el hielo es un sólido frágil, se me hace imposible creer que esta capa se mantuviese entera al levantarla de un extremo.
  4. Superman debe, para levantar la placa, aplicar una fuerza igual al peso de ésta. El problema es que como la aplica en el extremo (y no hay un segundo Superman en el extremo opuesto), la placa de hielo giraría sobre sí misma, lo cual hace imposible que Superman la pudiese transportar por el aire de forma horizontal. En este caso, la forma más lógica de transportarla sería agarrándola justo del centro. Que alguien pregunte a cualquier camarero cómo hay que llevar la bandeja para que no se caiga ;-)
  5. Una vez comienza la lluvia, es lógico pensar que el fuego externo se apagará, pero la temperatura en el interior del laboratorio no caería de una manera tan acusada como vemos en la película.

 

Error de guión y gazapo

  1. Minuto 2:16 del vídeo. Al fondo del laboratorio donde está almacenada la peligrosa sustancia química se ve un pequeño incendio, pero nadie se preocupa en apagarlo, lo que (a juzgar por el tamaño del fuego) podría realizarse con un pequeño extintor. ¿No sería más fácil para evitar una catástrofe, en lugar de concentrar todos los esfuerzos en la parte externa de la planta, intentar apagar este pequeño incendio?
  2. Minuto 2:56. El fuego en el interior del laboratorio ha desaparecido. ¿Cómo? ¿¿¿???